2005数学一考研

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）的真题及解析如下：

填空题（共6小题，每题4分，满分24分）

1. 曲线 $y = x^2$ 的斜渐近线方程为 $2x + 1$。

2. 微分方程 $y' = xy + 2y$ 满足 $y（0） = -1$ 的解为 $y = \frac{x^2}{1 - x}$。

3. 设函数 $f（x, y, z） = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$，单位向量 $\vec{u} = \left（\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right）$，则 $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}} = \frac{1}{3} \left（ \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} \right） \left（ \frac{x}{\sqrt{3}}, \frac{y}{\sqrt{3}}, \frac{z}{\sqrt{3}} \right）$。

4. 设由锥面 $z = x^2 + y^2$ 与半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 围成的空间区域，求 $\iiint_{\Omega} \vec{F} \cdot d\vec{S}$，其中 $\vec{F} = （x, y, z）$。

5. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为3维列向量，记矩阵 $A = （\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3）$，$B = （\alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3, \alpha_2 + 4\alpha_3, \alpha_3 + 9\alpha_3）$，若 $A = I$，则 $B = I + 2I^2$。

6. 从数1, 2, 3, 4中任取一个数，记为 $X$，再从1, 2, ..., $X$ 中任取一个数，记为 $Y$，则 $P\{Y = 2\} = \frac{X - 1}{X}$。

选择题（共8小题，每题4分，满分32分）

7. 设函数 $f（x） = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + x^3/n}$，则 $f（x）$ 在 $（-\infty, +\infty）$ 内：

（A）处处可导

（B）恰有一个不可导点

（C）恰有两个不可导点

（D）至少有三个不可导点

8. 设 $F（x）$ 是连续函数 $f（x）$ 的一个原函数，$M \subseteq N$ 表示 $M$ 是 $N$ 的充分必要条件是：