考研基本不等式

考研中涉及的基本不等式主要包括以下几种：

AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）

对于任意非负实数 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\），有：

\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}

柯西-施瓦茨不等式

对于任意实数序列 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\）和 \（b_1, b_2, \ldots, b_n\），有：

（a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2）

三角不等式

对于任意两个实数 \（a\）和 \（b\），有：

|a + b| \leq |a| + |b|

四边形不等式

对于任意的实数序列 \（a_1 \leq a_2 < b>

m[a_1, b_1] + m[a_2, b_2] \leq m[a_1, b_2] + m[a_2, b_1]

其中 \（m[i, j]\）表示连接点 \（i\）和 \（j\）的线段长度。

切比雪夫不等式

对于任意实数序列 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\）和任意正数 \（k\），有：

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}（a_i - \bar{a}）^2 \geq \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}（a_i - \bar{a}）^2

其中 \（\bar{a}\）是序列的平均值。

贝塞尔不等式

对于任意实数序列 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\）和任意正数 \（k\），有：

\left（\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right）\left（\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right） \geq \left（\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right）^2

拉格朗日中值定理

对于连续函数 \（f（x）\）在区间 \（[a, b]\）上，存在 \（\xi \in （a, b）\）使得：

f'（\xi） = \frac{f（b） - f（a）}{b - a}

这些不等式在考研数学中非常重要，常用于证明最值、求解函数值域、证明不等式等问题。掌握这些不等式的应用是考研数学的关键之一。